Question

5．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，M，N分別為BC、CD上的點，$\overrightarrow{BM}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DN}$=μ$\overrightarrow{DC}$，λ，μ∈（0，1），記$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow$．
（1）當λ=μ=$\frac{1}{2}$時，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-2，求$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的值．

Answer 1

分析 （1）$λ=μ=\frac{1}{2}$時，容易判斷出M，N分別為BC，CD邊的中點，從而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\frac{1}{2}|BD|$，根據(jù)四邊形ABCD為菱形，及∠BAD=120°便可求出|BD|，從而得出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|；
（2）根據(jù)λ，μ∈（0，1）便可知M，N分別在邊BC，CD上，不包括端點，從而可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}）$=-2，進行數(shù)量積的運算即可得出2λ+2μ=λμ，這樣即可得出$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}$的值．

解答 解：（1）$λ=μ=\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；
∴M，N分別是BC，CD的中點；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=|\overrightarrow{NM}|=\frac{1}{2}|BD|$=$\sqrt{3}$；
（2）$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=（\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{DC}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$$+λμ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$=-2+4μ+4λ-2λμ=-2；
∴2μ+2λ=λμ；
∴$\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}=\frac{1}{2}$．

點評 考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，向量長度的概念，三角形中位線的性質(zhì)，以及數(shù)量積的運算及其計算公式．