Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，則g（x）=log_a（x+k）的圖象是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，我們可得k=1，0＜a＜1，由此不難判斷函數(shù)的圖象．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函數(shù)
則f（-x）+f（x）=0
即（k-1）（a^x-a^-x）=0
則k=1
又∵f（x）=a^x-ka^-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)
則0＜a＜1，
則g（x）=log_a（x+k）=log_a（x+1）
函數(shù)圖象必過原點，且為減函數(shù)
故選：D．

點評 若函數(shù)在其定義域為為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，若函數(shù)在其定義域為為偶函數(shù)，則f（-x）-f（x）=0，這是函數(shù)奇偶性定義的變形使用，另外函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在公共單調(diào)區(qū)間上：增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)也是解決本題的關(guān)鍵