Question

4．在△ABC中，若$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可求得sin2A=sin2B，根據(jù)和差化積公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推斷出A+B=$\frac{π}{2}$或A=B，則三角形形狀可判斷出．

解答 解：∵由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，
∴$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{4{R}^{2}si{n}^{2}A}{4{R}^{2}si{n}^{2}B}$=$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，即sinA＞0，sinB＞0，
∴可得：$\frac{sinA}{sinB}=\frac{cosB}{cosA}$，解得sin2A=sin2B，
∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，
∴A+B=$\frac{π}{2}$或A=B，
∴三角形為直角三角形或等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的形狀判斷．需要挖掘題設(shè)信息，借助三角函數(shù)的基本公式和基本性質(zhì)找到邊與邊或角與角之間的關(guān)系，屬于中檔題．