Question

如圖所示的多面體中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=

π

3

，AD=2．
（1）求證：平面FCB∥平面AED；
（2）若二面角A-EF-C為直二面角，求直線BC與平面AEF所成的角θ的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明FB∥平面AED，BC∥平面AED，利用面面平行的判定定理可得結(jié)論；
（2）取EF的中點(diǎn)M，證明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角．解法1（幾何方法）：延長(zhǎng)CB到G，使BC=BG，證明∠CGM為所求，可得結(jié)論；解法2（向量方法）：求出平面AEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：矩形BDEF中，F(xiàn)B∥ED，--------（1分）
∵FB?平面AED，ED?平面AED，
∴FB∥平面AED，-（2分）
同理BC∥平面AED，-------（3分）
又FB∩BC=B，
∴平面FBC∥平面EDA．------（4分）
（2）解：取EF的中點(diǎn)M．
∵ED⊥面ABCD，ED∥FB，∴ED⊥AD，ED⊥DC，F(xiàn)B⊥BC，F(xiàn)B⊥AB
∵ABCD是菱形，BDEF是矩形，
∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，
∴AE=AF，CE=CF，
∴AM⊥EF，CM⊥EF，
∴∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角-------（8分）
解法1（幾何方法）：
延長(zhǎng)CB到G，使BC=BG，由已知可得，ADBG是平行四邊形，又BDEF矩形，
∴AEFG是平行四邊形，A，E，F(xiàn)，G共面，
由上證可知，AM⊥MC，CM⊥EF，EF，AM相交于M，
∴CM⊥平面AEFG，
∴∠CGM為所求．

由AD=2，∠DAB=60°，得AC=2

3

等腰直角三角形AMC中，AC=2

3

，可得MC=

6

直角三角形GMC中，sin∠CGM=

CM

CG

=

6

4

解法2（向量方法）：以D為原點(diǎn)，DC為y軸、DE為z軸，與DC垂直的直線為x軸，建立如圖的直角坐標(biāo)系，由AD=2．則M(

3

2

，

1

2

，

3

)，C（0，2，0），平面AEF的法向量

n

=

MC

=(-

3

2

，

3

2

，-

3

)，-------（12分）

∴

CB

=

DA

=(

3

，-1，0)，
∴cos＜

n

，

CB

＞=

n • CB

| n || CB |

=-

6

4

，
∴sinθ=

6

4

．---（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、面面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確找出線面角是關(guān)鍵．