Question

在長方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=2，點E是棱DD₁的中點，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角，又過A₁、C₁、E三點的平面再截去長方體的另一個角得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁E
（1）若直線BC₁與平面A₁C₁CA所成角的正弦值為

10

10

，求棱AA₁的長．
（2）在（1）的前提下，求二面角E-A₁C₁-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）設AC∩BD=O，證明∠BC₁O就是直線BC₁與平面A₁C₁CA所成角，利用直線BC₁與平面A₁C₁CA所成角的正弦值為

10

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，即可求棱AA₁的長．
（2）取A₁C₁的中點F，連接EF，BF，證明∠BFE就是求二面角E-A₁C₁-B的平面角，在△BFE中，求二面角E-A₁C₁-B的余弦值即可．

解答： 解：（1）設AC∩BD=O，則BD⊥AC，
∵BD⊥CC₁，
∴∠BC₁O就是直線BC₁與平面A₁C₁CA所成角．
設AA₁=h，則sin∠BC₁O=

OB

BC1

=

2

h2+4

=

10

10

，
∴AA₁=h=4；
（2）取A₁C₁的中點F，連接EF，BF，
∵A₁B=BC，
∴BF⊥A₁C₁，
同理EF⊥A₁C₁，
∴∠BFE就是求二面角E-A₁C₁-B的平面角．
在△BFE中，EF=

6

，BF=3

2

，BE=2

3

，
則BF²=BE²+EF²=18，
∴BE⊥EF，
∴cos∠BFE=

EF

BF

=

3

3

．

點評：本題考查線面角，考查面面角，考查學生的計算能力，正確作出線面角、面面角是關鍵．