Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，）在橢圓上，且．
（1）求橢圓M的方程；
（2）⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B當(dāng)，且滿足時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意，可知PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，，解得a²=2，b²=1，c²=1
∴橢圓的方程為
（2）直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，則m²=k²+1，
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，
∴
∴∴
∴，
∴
設(shè)，則
∴，
∴．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P（-1，）在橢圓上，且，可建立方程，從而可求橢圓M的方程；
（2）利用直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，可得m²=k²+1，進(jìn)而將直線與橢圓方程聯(lián)立，可表示弦長(zhǎng)，利用，，可確定其范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓，與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的求解，有較強(qiáng)的綜合性．