Question

6．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₂=1，S₁₀=-25．
（Ⅰ）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_n²-（a_n+1）²，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)的和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a₂=a₁+d=1、S₁₀=10a₁+45d=-25計算即得結(jié)論；
（2）通過a_n=-n+3可知b_n=2n-7，通過分n≤3、n≥4兩種情況討論即可．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a₂=a₁+d=1，S₁₀=10a₁+45d=-25，
∴a₁=2，d=-1，
∴a_n=2-（n-1）=-n+3；
（2）∵a_n=-n+3，
∴b_n=a_n²-（a_n+1）²=（-n+3）²-（-n+3+1）²=2n-7，
∴當(dāng)n≤3時|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…b_n）=$\frac{{{n^2}-5n}}{2}$，
當(dāng)n≥4時|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+b₃）+b₄+…+b_n
=$\frac{{-{n^2}+5n}}{2}-2（{{b_1}+{b_2}+{b_3}}）$
=$\frac{{-{n^2}+5n}}{2}+18$，
綜上可得T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-5n}{2}，}&{n≤3}\\{\frac{-{n}^{2}+5n}{2}+18，}&{n≥4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．