Question

18．如圖，要設計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm²，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm．
（1）怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最��？
（2）如果左欄矩形ABCD要滿足$\frac{AB}{BC}$≥k（k是常數(shù)，且k＞1），怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最�。�

Answer 1

分析 （1）設矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則依題意可知ab=9000，代入廣告的面積中，根據(jù)基本不等式的性質求得廣告面積的最小值．根據(jù)等號成立的條件確定廣告的高和寬；
（2）由（1）可得S=18500+25a+$\frac{360000}{a}$，由$\frac{AB}{BC}$≥k，即$\frac{a}$≥k（k＞1），求得a的范圍，確定為減區(qū)間，即可得到何時取得最小值．

解答 解：（1）設矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab=9000．①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0．
廣告的面積S=（a+20）（2b+25）
=2ab+40b+25a+500
=18500+25a+40b≥18500+2$\sqrt{25a•40b}$
=18500+2$\sqrt{1000ab}$．
當且僅當25a=40b時等號成立，此時b=$\frac{5}{8}$a，
代入①式得a=120，從而b=75．
即當a=120，b=75時，S取得最小值24500．
故廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小；
（2）設矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab=9000．①
廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a＞0，b＞0．
廣告的面積S=（a+20）（2b+25）
=2ab+40b+25a+500
=18500+25a+40b=18500+25a+$\frac{360000}{a}$，
由$\frac{AB}{BC}$≥k，即$\frac{a}$≥k（k＞1），
可得b≥ka，即有$\frac{9000}{a}$≥ka，
解得a≤30$\sqrt{\frac{10}{k}}$，由于k＞1，則30$\sqrt{\frac{10}{k}}$＜30$\sqrt{10}$＜120，
即有25a+$\frac{360000}{a}$在（0，30$\sqrt{\frac{10}{k}}$]遞減，
則當a=30$\sqrt{\frac{10}{k}}$，b=300$\sqrt{\frac{k}{10}}$，S取得最小值．
故廣告的高為30$\sqrt{\frac{10}{k}}$+20cm，寬為600$\sqrt{\frac{k}{10}}$+25cm時，可使廣告的面積最�。�

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．同時考查函數(shù)的單調性的運用，屬于中檔題．