【題目】過雙曲線 的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn),其中P是AB的中點(diǎn);
(1)求雙曲線的漸近線方程;
(2)當(dāng)P坐標(biāo)為(x0 , 2)時(shí),求直線l的方程;
(3)求證:|OA||OB|是一個(gè)定值.

【答案】
(1)解:雙曲線 的a=1,b=2,

可得雙曲線的漸近線方程為y=± x,

即為y=±2x;


(2)解:令y=2可得x02=1+ =2,

解得x0= ,(負(fù)的舍去),

設(shè)A(m,2m),B(n,﹣2n),

由P為AB的中點(diǎn),可得m+n=2 ,2m﹣2n=4,

解得m= +1,n= ﹣1,

即有A( +1,2 +2),

可得PA的斜率為k= =2 ,

則直線l的方程為y﹣2=2 (x﹣ ),

即為y=2 x﹣2;


(3)證明:設(shè)P(x0,y0),即有x02 =1,

設(shè)A(m,2m),B(n,﹣2n),

由P為AB的中點(diǎn),可得m+n=2x0,2m﹣2n=2y0,

解得m=x0+ y0,n=x0 y0,

則|OA||OB|= |m| |n|=5|mn|=5|(x0+ y0)(x0 y0)|

=5|x02 |=5為定值.


【解析】(1)求出雙曲線的a,b,由雙曲線的漸近線方程為y=± x,即可得到所求;(2)令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,設(shè)A(m,2m),B(n,﹣2n),可得A,B的坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)斜式方程,即可得所求直線方程;(3)設(shè)P(x0 , y0),A(m,2m),B(n,﹣2n),代入雙曲線的方程,運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得m,n,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式,即可得到定值.

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B.﹣
C.
D.﹣

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