Question

對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“折線距離”：
d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．則下列命題正確的個數(shù)是（　　）
①若A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=5；
②若點C在線段AB上，則d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；
③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；
④在平行四邊形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義

分析：利用“折線距離”：d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，對①②③④逐個判斷即可．

解答： 解：①∵A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①正確；
②設直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設C點坐標為（x₀，y₀），
∵點C在線段AB上，
∴x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，不妨令x₁＜x₀＜x₂，y₁＜y₀＜y₂，
則d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|
=x₀-x₁+y₀-y₁+x₂-x₀+y₂-y₀
=x₂-x₁+y₂-y₁
=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|
=d（A，B）成立，故②正確；
③在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|，
故③不一定成立；
④在平行四邊形ABCD中，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），

則d（A，B）=d（C，D），d（A，D）=d（C，B），
∴d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D），即④正確；
∴命題正確的是①②④，
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查創(chuàng)新思維與邏輯思維，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算作圖能力，屬于難題．