已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為4，且過點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k的直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，求△AOB的面積．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為4，根據(jù)橢圓的定義，求出a，利用橢圓過點(diǎn)（0，1），求出b，即可求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-
3
），代入橢圓方程，消去y并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，求出k，進(jìn)而求出|AB|，原點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求△AOB的面積．
解答： 解：（Ⅰ）依題意，∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為4，
∴a=2，
∵橢圓過點(diǎn)（0，1），
∴b=1，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）∵直線AB過右焦點(diǎn)（
3
，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-
3
）．
代入橢圓方程，消去y并整理得（1+4k2）x2-8
3
k2x+12k2-4=0． （*）
故x1+x2=
8
3
k2
4k2+1
，x1x2=
12k2-4
4k2+1
．
∴y1y2=k（x1-
3
）•k2（x-
3
）=
-k2
4k2+1
．
又
x1x2
a2
+
y1y2
b2
=0，即
x1x2
4
+y1y2=0．
∴
3k2-1
4k2+1
+
-k2
4k2+1
=0，可得k2=
1
2
，即k=±
2
2
．
方程（*）可化為3x2-4
3
x+2=0，
由|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
3
2
•
(
4
3
3
)2-4•
2
3
=2．
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離d=
|
3
k|
k2+1
=1．
∴S△AOB=
1
2
|AB|•d=1．          …（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，確定直線AB的斜率是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

科拉茨是德國數(shù)學(xué)家，他在1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即
n
2
）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．如初始正整數(shù)為6，按照上述變換規(guī)則，我們可以得到一個(gè)數(shù)列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．
（1）如果n=2，則按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為
 

（2）如果對正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知（a5-1）3+2009（a5-1）=1，（a2005-1）3+2009（a2005-1）=-1，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A、S2009=2009，a2005＜a5
B、S2009=2009，a2005＞a5
C、S2009=-2009，a2005≤a5
D、S2009=-2009，a2005≥a5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），定義它們之間的一種“折線距離”：
d（A，B）=|x2-x1|+|y2-y1|．則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①若A（-1，3），B（1，0），則d（A，B）=5；
②若點(diǎn)C在線段AB上，則d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；
③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；
④在平行四邊形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+px+q滿足f（1）=f（2）=0，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大2，
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為2
2
的直線交軌跡C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，P（x3，y3）（x3≥0）為軌跡C上一點(diǎn)，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線C經(jīng)過A（-7，5）、B（-1，-1）兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，且線段MN被圓E：x2+y2-12x+n=0（n∈R）三等分，求實(shí)數(shù)m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線y=x+1交x軸于點(diǎn)P，交橢圓
x2
a2
-
y2
b2
=1于相異兩點(diǎn)A、B，且
PA
=-3
PB
．
（1）求a的取值范圍；
（2）將弦AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（m，n），求證：m+7n=-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①方程f[f（x）]=x一定沒有實(shí)數(shù)根；
②若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實(shí)數(shù)x都成立；
③若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x0，使f[f（x0）]＞x0；
④函數(shù)g（x）=ax2-bx+c（a≠0）的圖象與直線y=-x一定沒有交點(diǎn)，
其中正確的結(jié)論是
 
（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

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