Question

11．已知f（x）對(duì)任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）=x+1，則當(dāng)2＜x≤4時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知分析出函數(shù)的周期性，結(jié)合當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）=x+1，畫出當(dāng)2＜x≤4時(shí)，函數(shù)的圖象，再由$\frac{f（x）}{x}$的幾何意義得到答案．

解答 解：∵f（x）對(duì)任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
又∵當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）=x+1，
∴函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

$\frac{f（x）}{x}$表示函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
故當(dāng)2＜x≤4時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$的最大值為$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的周期性，斜率公式，正確理解$\frac{f（x）}{x}$的幾何意義是解答的關(guān)鍵．