已知集合A={a1，a2，…ax}(k≥2)，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：，．其中(a，b)是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．若對于任意的，總有，則稱集合A具有性質P．

(1)

檢驗集合{0，1，2，3}與{－1，2，3}是否具有性質P并對其中具有性質P的集合，寫出相應的集合S和T；

(2)

對任何具有性質P的集合A，證明：；

(3)

判斷m和n的大小關系，并證明你的結論．

答案：
解析：

(1)

解：集合不具有性質．

集合具有性質，其相應的集合和是，

．

(2)

證明：首先，由中元素構成的有序數(shù)對共有個．

因為，所以；

又因為當時，時，，所以當時，．

從而，集合中元素的個數(shù)最多為，

即．

(3)

解：，證明如下：

(1)對于，根據(jù)定義，，，且，從而．

如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立．

故與也是的不同元素．

可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，

(2)對于，根據(jù)定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，

故與也是的不同元素．

可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，

由(1)(2)可知，．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A=a1，a2，…，an中的元素都是正整數(shù)，且a1＜a2＜…＜an，對任意的x，y∈A，且x≠y，有|x-y|≥
xy
25
．
（Ⅰ）求證：
1
a1
-
1
an
≥
n-1
25
；    
（Ⅱ）求證：n≤9；
（Ⅲ）對于n=9，試給出一個滿足條件的集合A．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A=a1，a2，a3，…，an，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）設集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分別求l（P）和l（Q）；
（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求證：l(A)=
n(n-1)2
；
（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，…，an}中的元素都是正整數(shù)，且a1＜a2＜…＜an，對任意的x，y∈A，且x≠y，都有|x-y| ≥
xy
36
．
（1）求證：
1
a1
-
1
an
≥
n-1
36
；（提示：可先求證
1
ai
-
1
ai+1
≥
1
36
（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要證的結論．）
（2）求證：n≤11；
（3）對于n=11，試給出一個滿足條件的集合A．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（1）設集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分別求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={a1，a2，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數(shù)．
（Ⅰ）若集合A={2，4，8，16}，則l（A）=
 
；
（Ⅱ）當n=108時，l（A）的最小值為
 
．

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