【題目】已知非零數(shù)列滿足,.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)若關(guān)于的不等式有解,求整數(shù)的最小值;
(3)在數(shù)列中,是否存在首項、第項、第項(),使得這三項依次構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出所有的;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)存在,或.
【解析】
(1)由條件可得,即,再由等比數(shù)列的定義即可得證;
(2)由等比數(shù)列的通項公式求得,,再由數(shù)列的單調(diào)性的判斷,可得最小值,解不等式即可得到所求最小值;
(3)假設(shè)存在首項、第項、第項(),使得這三項依次構(gòu)成等差數(shù)列,由等差數(shù)列的中項的性質(zhì)和恒等式的性質(zhì),可得,的方程,解方程可得所求值.
解:(1)證明:由,
得,即,
所以數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列;
(2)由(1)可得,,則
故,
設(shè),
則
,
所以單調(diào)遞增,
則,于是,即 ,
故整數(shù)的最小值為;
(3)由上面得,,
設(shè),
要使得成等差數(shù)列,即,
即,
得,
,
,
故為偶數(shù),為奇數(shù),
或.
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【題目】已知是橢圓的左、右焦點,為坐標原點,點在橢圓上,線段與軸的交點滿足.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)圓是以為直徑的圓,一直線與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點、,當,且滿足時,求的面積的取值范圍.
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【題目】在集合中,任取個元素構(gòu)成集合. 若的所有元素之和為偶數(shù),則稱為的偶子集,其個數(shù)記為;若的所有元素之和為奇數(shù),則稱為的奇子集,其個數(shù)記為. 令
(1)當 時,求的值;
(2)求.
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【題目】已知拋物線的焦點為,圓:與軸的一個交點為,圓的圓心為,為等邊三角形.
求拋物線的方程;
設(shè)圓與拋物線交于兩點,點為拋物線上介于兩點之間的一點,設(shè)拋物線在點處的切線與圓交于兩點,在圓上是否存在點,使得直線均為拋物線的切線,若存在求出點坐標(用表示);若不存在,請說明理由.
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【題目】隨著經(jīng)濟模式的改變,微商和電商已成為當今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi),沒售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元,未售出的商品,每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗,得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了130噸該商品,現(xiàn)以(單位:噸,)表示下一個銷售季度的市場需求量,(單位:萬元)表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
(Ⅰ)視分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率,求;
(Ⅱ)將表示為的函數(shù),求出該函數(shù)表達式;
(Ⅲ)在頻率分布直方圖的市場需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值(組中值)代表該組的各個值,并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率(例如,則取的概率等于市場需求量落入的頻率),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】設(shè)函數(shù)()的圖象為, 關(guān)于點的對稱的圖象為, 對應(yīng)的函數(shù)為.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并確定其定義域;
(Ⅱ)若直線與只有一個交點,求的值,并求出交點的坐標.
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【題目】如圖,已知矩形中,,為邊的中點,將沿直線翻折成,若是線段的中點,則在翻折過程中,下列命題:
①線段的長是定值;
②存在某個位置,使;
③點的運動軌跡是一個圓;
④存在某個位置,使得面.
正確的個數(shù)是()
A. B. C. D.
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【題目】(本小題滿分10分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系xOy中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),M為上的動點,P點滿足,點P的軌跡為曲線.
(I)求的方程;
(II)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為A,與的異于極點的交點為B,求|AB|.
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