已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為
2
2
，過F1的直線l1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為4
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F2且與l1垂直的直線l2交橢圓于C、D兩點(diǎn)，求證：
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由題意，得
c
a
=
2
2
4a=4
2
，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意直線l1，l2中至少有一條存在斜率，設(shè)l1的斜率為k，又l1過F1（-1，0），故l1的方程為y=k（x+1），代入x2+2y2-2=0，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，由此求得|AB|=
2
2
(1+k2)
1+2k2
．當(dāng)k≠0時(shí)，同理得|CD|=
2
2
(1+k2)
2+k2
，從而求出
1
|AB|
+
1
|CD|
=
1+2k2
2
2
(1+k2)
+
2+k2
2
2
(1+k2)
=
3
2
4
．當(dāng)k=0時(shí)，同樣有
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
2
4
．由此能證明
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值
3
2
4
．
解答： （Ⅰ）解：由題意，得
c
a
=
2
2
4a=4
2
，
解得a=
2
c=1，∴b2=2-1=1，
故所求的橢圓的方程為
x2
2
+y2=1.4分
（Ⅱ）證明：由題意直線l1，l2中至少有一條存在斜率，
不妨設(shè)l1的斜率為k，又l1過F1（-1，0），
故l1的方程為y=k（x+1），
代入x2+2y2-2=0，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
4k2
1+2k2
，x1+x2=
2k2-2
1+2k2
，
∴|AB|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
2
(1+k2)
1+2k2
.8分
①當(dāng)k≠0時(shí)，∵l1⊥l2，∴l(xiāng)2的斜率為-
1
k
，
同上推得|CD|=
2
2
[1+(-
1
k
)2]
1+2(-
1
k
)2
=
2
2
(1+k2)
2+k2
，
故
1
|AB|
+
1
|CD|
=
1+2k2
2
2
(1+k2)
+
2+k2
2
2
(1+k2)
=
3
2
4
.11分
②當(dāng)k=0時(shí)，由題意得|AB|=2
2
，|CD|=
2
，同樣有
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
2
4
．
綜合①②即知
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值
3
2
4
.13分．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段的倒數(shù)和為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
|x|
x+2
-ax2，其中a∈R，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若函數(shù)f（x）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾�。疄榱私饽呈行姆渭膊∈欠衽c性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：
患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)
男5
女10
合計(jì)50
已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為
3
5
．
（Ⅰ）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)？說明你的理由；
（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃�。F(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為ξ，求ξ的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差；大氣污染會引起各種疾病，試淺談日常生活中如何減少大氣污染．
下面的臨界值表供參考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（參考公式K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是曲線C，滿足點(diǎn)P到點(diǎn)F（-4，0）的距離與它到直線l：x=-1的距離|PQ|之比為常數(shù)，又點(diǎn)（2，0）在曲線C上．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在直線y=kx-2與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M和N，且線段MN的中點(diǎn)為A（1，1）．若存在求出求實(shí)數(shù)k的值，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的不平行于對稱軸的弦，M（x0，y0）為AB的中點(diǎn)，求直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-3（a≠0）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意的a∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x3+[
b
2
-f′（x）]x2在區(qū)間（a，3）上有最值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F2（
2
3
3
，0），直線l：y=ax+1與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=
1
2
x對稱？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對非負(fù)實(shí)數(shù)m“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜m＞．如＜0.48＞=0，＜0.64＞=1，＜1.495＞=1，…，若2.5＜x2-x+
3
2
＞=3.5，則＜|x|＞=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=
2x-1
x+1
（-2≤x≤0且x≠-1），則y的取值范圍為
 
．

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