Question

已知橢圓

x=4cosθ y=5sinθ

上兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)為A、C，又B、D為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且B、D分別在直線AC的兩旁，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：將橢圓的參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：

y2

25

+

x2

16

=1，作出它的圖形，再設(shè)A（0，5），C（4，0），B、D為橢圓上位于AC的兩側(cè)的兩點(diǎn)．將四邊形ABCD分解，得它的面積S=S_△ACD+S_△ACB，從而得出ABCD面積S=

1

2

AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分別為點(diǎn)B、D到AC的距離．因此，當(dāng)平行于AC的直線l₁與橢圓相切于點(diǎn)B，平行于AC的直線l₂與橢圓相切于點(diǎn)D時(shí)，四邊形面積達(dá)到最大值．然后設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)和直線l₁的方程，通過聯(lián)解方程組，可得點(diǎn)B（2

2

，

5

2

2

），點(diǎn)D（-2

2

，-

5

2

2

）．最后求出直線AC的方程5x+4y-20=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式，可求出四邊形ABCD面積的最大值．

解答：解：將橢圓

x=4cosθ y=5sinθ

化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

y2

25

+

x2

16

=1，作出它的圖形如右圖
設(shè)A（0，5），C（4，0），B、D為橢圓上兩點(diǎn)，且位于AC的兩側(cè)
則四邊形ABCD的面積S=S_△ACD+S_△ACB，而S_△ACB=

1

2

AC•h₁，S_△ACD=

1

2

AC•h₂
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

AC•h₁+

1

2

AC•h₂=

1

2

AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分別為點(diǎn)B、D到AC的距離
因此，當(dāng)平行于AC的直線l₁與橢圓相切于點(diǎn)B時(shí)，h₁達(dá)到最大值；當(dāng)平行于AC的直線l₂與橢圓相切于點(diǎn)D時(shí)，h₂達(dá)到最大值．
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），得直線l₁的方程為：

y1y

25

+

x1x

16

=1
∵

y 12 25 + x 12 16 =1 K AC=- 5 4 =- 25x1 16y1 =Kl1

，
∴

x1=2 2 y1= 5 2 2

，可得點(diǎn)B（2

2

，

5

2

2

）
∵直線AC的方程為y=-

5

4

x+5，即5x+4y-20=0，
∴點(diǎn)B到AC的距離為：

|5×2 2 +4× 5 2 2 -20|

52+42

=

41

41

(20

2

-20)，即h₁的最大值為

41

41

(20

2

-20)
同理，可得點(diǎn)D（-2

2

，-

5

2

2

），D到AC的距離為

41

41

(20

2

+20)，即h₂的最大值為

41

41

(20

2

+20)，
∴四邊形ABCD的面積S的最大值為

1

2

AC[

41

41

(20

2

-20)+

41

41

(20

2

+20)]=

1

2

×

41

×

41

41

×40

2

=20

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的參數(shù)方程，以上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的連線為對(duì)角線，得橢圓的內(nèi)接四邊形并求此四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．