Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}滿足（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=2n（n+1）（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出公差d，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和．

解答 解：∵（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n+a_n+1）=2n（n+1），①
∴（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=2n（n-1），②
由①-②可得，a_n+a_n+1=4n，③，
令n=n-1，可得a_n+a_n-1=4（n-1），④，
由③-④可得2d=4，
∴d=2，
∵a₁+a₂=4，
∴a₁=1，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
（2）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）¹+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1+2•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+2•（$\frac{1}{2}$）^n-1-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+2$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=6-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求出通項(xiàng)公式和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．