Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為常數(shù)）．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≤（a+2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出f（x），然后求f′（x），找f′（x）＞0所對(duì)應(yīng)的x的區(qū)間，和f′（x）＜0所對(duì)應(yīng)的x的區(qū)間，這樣就求出了f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）想著讓不等式變成一邊是a，另一邊含x的式子，這樣便于求a的取值范圍．由于x∈[1，e]，所以原不等式可變成a≥

-x2+2x

lnx-x

，令g（x）=

-x2+2x

lnx-x

，a需滿足：a≥g（x）_max，所以求函數(shù)g（x）的最大值即可．可通過求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得出g（x）在[1，e]的單調(diào)性，從而求出g（x）的最大值，這樣便求出了a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=-2時(shí)，f（x）=x²-2lnx，f′（x）=2x-

2

x

=

2(x2-1)

x

；
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1]，單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由已知條件得：alnx+x²≤（a+2）x，a（lnx-x）≤-x²+2x；
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取；
∴l(xiāng)nx＜x，∴l(xiāng)nx-x＜0；
∴a≥

-x2+2x

lnx-x

；
令g（x）=

-x2+2x

lnx-x

（x∈[1，e]），g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(lnx-x)2

；
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2ln2＞0；
∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)；
∴g（x）在[1，e]上的最大值為：

e2-2e

e-1

；
∴a的取值范圍為：[

e2-2e

e-1

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判讀函數(shù)單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間的方法，而把（2）中的不等式變成a≥

-x2+2x

lnx-x

是求解本題的關(guān)鍵．