【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+ )﹣ sin2x+sinxcosx
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位,使所得函數(shù)為偶函數(shù),求m的最小正值.
【答案】
(1)解:f(x)=2cosxsin(x+ )﹣ sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos +cosxsin )﹣ sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+ cos2x﹣ sin2x
=sin2x+ cos2x
=2sin(2x+ );
令2x+ ∈[ +2kπ, +2kπ],k∈Z得:x∈[ +kπ, +kπ],k∈Z,
即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[ +kπ, +kπ],k∈Z
(2)解:將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位,
可得函數(shù)g(x)=2sin(2x﹣2m+ )的圖象
∵函數(shù)為偶函數(shù),
故﹣2m+ = +kπ,k∈Z,
當(dāng)k=﹣1時,m取最小正值
【解析】先利用和角公式,倍角公式,將函數(shù)f(x)化為正弦型函數(shù)的形式;(1)令2x+ ∈[ +2kπ, +2kπ],k∈Z,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移m個單位,使所得函數(shù)為偶函數(shù),則﹣2m+ = +kπ,k∈Z,進(jìn)而得到答案.
【考點(diǎn)精析】掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本,需要知道復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率是 ,從B中摸出一個紅球的概率為p.
(1)從A中又放回的摸球,每次摸出一個,共摸5次 ①恰好有3次摸到紅球的概率;
②第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率.
(2)若A、B兩個袋子中的球之比為12,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是 ,求p的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=et(x﹣1)﹣tlnx,(t>0)
(Ⅰ)若t=1,證明x=1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn);
(Ⅱ)求證:f(x)≥0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 , ,若A,B,C是銳角△ABC的三個內(nèi)角,,則 與 的夾角為( )
A.銳角
B.直角
C.鈍角
D.以上都不對
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)判斷曲線是否位于軸下方,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在對某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中,從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取10件,測量該產(chǎn)品中某種元素的含量(單位:毫克).如圖是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖:
規(guī)定:當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量≥15毫克時為優(yōu)質(zhì)品.
(Ⅰ)試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率(優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù));
(Ⅱ)從乙地抽出的上述10件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取3件,求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).
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【題目】質(zhì)檢部門從企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間,,內(nèi)的頻率之比為.
(Ⅰ)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件,記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若關(guān)于x的方程f(f(x))=0有且只有一個實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(﹣∞,0]∪(0,1)
C.(﹣∞,0)∪(0,1]
D.(﹣∞,0)∪(0,1)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1在x=﹣1與x=2處有極值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[﹣2,3]上的最值.
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