Question

已知函數(shù)（）.
（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，求證：（其中是的導(dǎo)函數(shù)）．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：解題思路：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）利用該區(qū)間上的極值的正負(fù)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）通過構(gòu)造函數(shù)求最值進(jìn)行證明.規(guī)律總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是常見題型，主要是通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間、求極值、最值以及不等式恒成立等問題，往往計(jì)算量較大，思維量大，要求學(xué)生有較高的邏輯推理能力.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，
切線的斜率，則切線方程為，即.
（2），則，
因，故時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在處取得極大值.
又，，，則，
在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則
解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824060027233429.png" style="vertical-align:middle;" />的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，
所以方程的兩個(gè)根為，則兩式相減得.又，，則.
下證（*），即證明，，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824060027389501.png" style="vertical-align:middle;" />，∴，即證明在上恒成立.
所以，又，∴，
所以在上是增函數(shù)，則，從而知，
故（*）式成立，即成立.