Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)是F（-1，0），上頂點(diǎn)是B，且|BF|=2，直線y=k（x+1）與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若在x軸上存在點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$與k的取值無(wú)關(guān)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓C的左焦點(diǎn)是F（-1，0），且|BF|=2，可得c，a．再利用a²=b²+c²，得b²即可．
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)量積及其使得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$與k的取值無(wú)關(guān)，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的左焦點(diǎn)是F（-1，0），且|BF|=2，
∴c=1，a=2．
由a²=b²+c²，得b²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）∵直線y=k（x+1）與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+1}）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
∴△=144k²+144＞0．
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，0），
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=（{{x_1}-{x_0}，{y_1}}）•（{{x_2}-{x_0}，{y_2}}）$
=（x₁-x₀）•（x₂-x₀）+y₁y₂
=${x_1}•{x_2}-{x_0}（{{x_1}+{x_2}}）+{x_0}^2+{k^2}（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）$
=$（{1+{k^2}}）{x_1}•{x_2}+（{{k^2}-{x_0}}）（{{x_1}+{x_2}}）+{k^2}+{x_0}^2$
=$（{1+{k^2}}）•\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}+（{{k^2}-{x_0}}）•\frac{{-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+{k^2}+{x_0}^2$
=$\frac{{4{k^2}-12+4{k^4}-12{k^2}-8{k^4}+8{x_0}{k^2}+3{k^2}+4{k^4}}}{{3+4{k^2}}}+{x_0}^2$
=$\frac{{（{8{x_0}-5}）{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}+{x_0}^2$，
∵$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$與k的取值無(wú)關(guān)，
∴$\frac{{8{x_0}-5}}{-12}=\frac{4}{3}$．
∴${x_0}=-\frac{11}{8}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是$（{-\frac{11}{8}，0}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．