Question

10．對(duì)于定義在正整數(shù)集且在正整數(shù)集上取值的函數(shù)f（x）滿足f（1）≠1，且對(duì)?n∈N^*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，則f（2015）=（　�。�

• A． 2014
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 由于f（1）≠1，則f（1）=2，或f（1）≥3，若f（1）≥3，則令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即為f（2）+f（f（1））≤1這與f（x）≥1矛盾．故有f（1）=2，分別令n=1，2，3，4，…，求得幾個(gè)特殊的函數(shù)值，歸納得到當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n）=n+1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n）=n-1．檢驗(yàn)成立，即可得到f（2015）．

解答 解：由于f（1）≠1，則f（1）=2，或f（1）≥3，
若f（1）≥3，則令n=1，即有f（1）+f（2）+f（f（1））=4，
即為f（2）+f（f（1））≤1這與f（x）≥1矛盾．
故有f（1）=2，
由f（1）+f（2）+f（f（1））=4，即2+f（2）+f（2）=4，
解得f（2）=1，
再由f（2）+f（3）+f（f（2））=7，解得f（3）=4，
再由f（3）+f（4）+f（f（3））=10，解得f（4）=3，
再由f（4）+f（5）+f（f（4））=13，解得f（5）=6，
再由f（5）+f（6）+f（f（5））=16，解得f（6）=5，
…
歸納可得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f（n）=n+1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f（n）=n-1．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
f（n）+f（n+1）+f（f（n））=n+1+n+f（n+1）=2n+1+n=3n+1成立；
同樣n為偶數(shù)時(shí)，仍然成立．
則f（2015）=2016．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，主要考查賦值法的運(yùn)用，通過(guò)幾個(gè)特殊，計(jì)算得到結(jié)果再推出一般結(jié)論，再驗(yàn)證，是解本題的常用方法．