Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（－∞，1]
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，
(1)當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，
又g(0)＝0，所以對(duì)x≥0，都有g(shù)(x)≥g(0)，
即當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．
(2)當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是減函數(shù)，
又g(0)＝0，所以對(duì)0＜x＜e^a－1－1，都有g(shù)(x)＜g(0)，
即當(dāng)a＞1時(shí)，不是對(duì)所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．