Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C₁：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為．以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C₂．
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過橢圓C₂中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點(diǎn)（與O不重合）．
①若MO＝2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

（1）;（2）①;②．

試題分析：（1）對(duì)于曲線C₁：的處理，關(guān)鍵問題是兩個(gè)絕對(duì)值的處理，根據(jù)x,y的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)系中的四個(gè)象限有關(guān)，進(jìn)而即可得到，即可得出橢圓方程; （2）①由l是線段AB的垂直平分線，可轉(zhuǎn)化為：，又由MO＝2OA，可轉(zhuǎn)化得到：，這樣的好處是兩條件均轉(zhuǎn)化為向量了，設(shè)出點(diǎn)M和點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到關(guān)系：解出再利用點(diǎn)M在所求橢圓上即可求出：;②中要求△AMB的面積的最小值，根據(jù)此地三角形的特點(diǎn)，不難想到直線AB的設(shè)出，根據(jù)斜率是否存在，可先考慮兩種特殊情況：一種不存在;另一種為0，再考慮一般情形，運(yùn)用方程組思想即可得：和，進(jìn)而表示出面積：，最后結(jié)合不等式知識(shí)即可求出最小值．
試題解析：（1）由題意得 又，解得，．
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                4分
（2）①設(shè)，，則由題設(shè)知：，．
即 解得                               8分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C₂上，所以，
即，亦即．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為．                                   10分
②假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y＝kx(k≠0)．
解方程組 得，，
所以，.
又 解得，，所以．     12分
由于
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即k＝±1時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)△AMB面積的最小值是S_△AMB＝．                                 15分
當(dāng)k＝0，S_△AMB；
當(dāng)k不存在時(shí)，S_△AMB．
綜上所述，△AMB面積的最小值為．                                    16分