【題目】如圖所示,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,BC=2AB=4, ,E是A1D1的中點.
(Ⅰ)在平面A1B1C1D1內(nèi),請作出過點E與CE垂直的直線l,并證明l⊥CE;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中所作直線l與CE確定的平面為α,求點C1到平面α的距離.
【答案】解:(Ⅰ)如圖所示,連接B1E,C1E,則直線B1E即為所求直線l ∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,CC1⊥平面A1B1C1D1
∴B1E⊥CC1
∵B1C1=2A1B1=4,E是A1D1的中點
∴B1E⊥C1E
又CC1∩C1E=C1
∴B1E⊥平面CC1E
∴B1E⊥CE,即l⊥CE
(Ⅱ)如圖所示,連接B1C,則平面CEB1即為平面α
過點C1作C1F⊥CE于F
由(Ⅰ)知B1E⊥平面CC1E,故B1E⊥C1F
∵C1F⊥CE,CE∩B1E=E
∴C1F⊥平面CEB1 , 即C1F⊥平面α
∴直線CC1和平面α所成角為∠FCC1
∵在△ECC1中, ,且EC1⊥CC1
∴C1F=2
∴點C1到平面α的距離為2
【解析】(Ⅰ)連接B1E,C1E,則直線B1E即為所求直線l,推導(dǎo)出B1E⊥CC1 , B1E⊥C1E,能證明l⊥CE.(Ⅱ)連接B1C,則平面CEB1即為平面α,過點C1作C1F⊥CE于F,則C1F⊥平面α,直線CC1和平面α所成角為∠FCC1 , 由此能求出點C1到平面α的距離.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面垂直的性質(zhì)(垂直于同一個平面的兩條直線平行).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中, ).
(Ⅰ)當時,若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點、處的切線分別為、,若, ,且,求實數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中點.
(1)證明:直線 平面PAB
(2)點M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ,求二面角M-AB-D的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= cosx(sinx+cosx). (Ⅰ)若0<α< ,且sinα= ,求f(α)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,所有棱長均為2,O是底面正方形ABCD中心,E為PC中點,則直線OE與直線PD所成角為( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差d>0的等差數(shù)列{an}中,a1=10,且a1 , 2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求公差d及通項an;
(2)設(shè)Sn= + +…+ ,求證:Sn< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (其中a為非零實數(shù)),且方程 有且僅有一個實數(shù)根. (Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拖延癥總是表現(xiàn)在各種小事上,但日積月累,特別影響個人發(fā)展.某校的一個社會實踐調(diào)查小組,在對該校學(xué)生進行“是否有明顯拖延癥”的調(diào)查中,隨機發(fā)放了110份問卷.對收回的100份有效問卷進行統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表:
有明顯拖延癥 | 無明顯拖延癥 | 合計 | |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合計 | 65 | 35 | 100 |
(Ⅰ)按女生是否有明顯拖延癥進行分層,已經(jīng)從40份女生問卷中抽取了8份問卷,現(xiàn)從這8份問卷中再隨機抽取3份,并記其中無明顯拖延癥的問卷的份數(shù)為,試求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為無明顯拖延癥與性別有關(guān),那么根據(jù)臨界值表,最精確的的值應(yīng)為多少?請說明理由.
附:獨立性檢驗統(tǒng)計量,其中.
獨立性檢驗臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an} 中,已知公差 ,且a1+a3+a5+…+a99=60,則a1+a2+a3+…+a100= .
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