Question

在長方形ABCD中，AB=3，BC=1，E為DC的三等分點（靠近C處），F為線段EC上一動點（包括端點），現將△AFD沿AF折起，使D點在平面內的攝影恰好落在邊AB上，則當F運動時，二面角D-AF-B平面角余弦值的變化范圍是

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：計算題,作圖題,空間位置關系與距離

分析：過點D作DM⊥AF于點O，交AB于點M，不妨設二面角D-AF-B的平面解為θ，則cosθ=

OM

OD

=

OA

OF

=

1

x2

，從而求其取值范圍．

解答： 解：如圖，過點D作DM⊥AF于點O，交AB于點M，不妨設二面角D-AF-B的平面解為θ，
則cosθ=

OM

OD

，
設DF=x，2≤x≤3，由勾股定理，
OD=

x

x2+1

，OF=

x4 x2+1

，OA=

1 x2+1

，∴cosθ=

OM

OD

=

OA

OF

=

1

x2

在[2，3]上是減函數，
∴

1

9

≤cosθ≤

1

4

．
故答案為：[

1

9

，

1

4

]．

點評：本題考查了學生的作圖能力及空間想象力，注意折起前后的等量關系是本題解決的關鍵，屬于中檔題．