Question

如圖是一個(gè)正三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=1，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求AB與平面AA₁C₁C所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，說(shuō)明ODC₁C是平行四邊形，從而證明OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）過(guò)B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂，作BH⊥A₂C₂于H，連結(jié)AH，說(shuō)明∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角．從而求正弦值．

解答： 解：（1）證明：如圖，作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．
則OD∥BB₁∥CC₁，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

(AA1+BB1)=3=CC1，
∴ODC₁C是平行四邊形，
∴OC∥C₁D，
又∵C₁D?平面C₁B₁A₁，且OC?平面C₁B₁A₁；
∴OC∥面A₁B₁C₁．
（2）解：如圖，過(guò)B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁，分別交AA₁，CC₁于A₂，C₂，作BH⊥A₂C₂于H，
∵平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C，
∴BH⊥面AA₁C₁C．連結(jié)AH，
則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角．
∵BH=

3

2

，AB=

5

，
∴sin∠BAH=

BH

AB

=

15

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的空間想象力及作圖能力，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．