設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且=．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓C的方程．
【答案】分析：（1）設(shè)出Q點坐標，由F，A的坐標表示出，根據(jù)得出=0看，進而求得x，設(shè)P（x1，y1）根據(jù)求得x1和y1的表達式，把點P的坐標代入橢圓方程進而求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．
（2）根據(jù)（1）中a和c的關(guān)系可知F和Q的坐標，△AQF的外接圓圓心和半徑，進而根據(jù)求得a，進而根據(jù)a和b，c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）設(shè)Q（x，0），由F（-c，0）A（0，b）知
∵，∴
設(shè)P（x1，y1），
得
因為點P在橢圓上，所以
整理得2b2=3ac，即2（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，故橢圓的離心率e=．

（2）由（1）知，
于是F（-a，0）Q，
△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a
所以，解得a=2，
∴c=1，b=，
所求橢圓方程為
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提的是熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)．
練習冊系列答案
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設(shè)橢圓C：數(shù)學公式+數(shù)學公式=1（a＞b＞0）的左焦點為F1=（-數(shù)學公式，0），橢圓過點P（-數(shù)學公式，數(shù)學公式）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點D（l，0），直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C：數(shù)學公式=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為數(shù)學公式，左焦點F1到直線l：數(shù)學公式的距離等于長半軸長．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，線段MN的中垂線與x軸相交于點P（m，O），求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年貴州省貴陽市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點M（1，1），離心率e=，O為坐標原點．
（I）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若直線l是圓O：x2+y2=1的任意一條切線，且直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求證：•為定值．

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設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且=．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+y+3=0相切，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年四川省高考數(shù)學壓軸卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1=（-，0），橢圓過點P（-，）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點D（l，0），直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍．

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