Question

已知圓x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，若圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使

PA

2，

PO

2，

PB

2成等比數(shù)列（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則

PA

•

PB

的取值范圍為（　　）

• A．(0，

  1

  2

  ]
• B．[-

  1

  2

  ，0)
• C．(-

  1

  2

  ，0)
• D．[-1，0）

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），則A（-1，0），B（1，0），

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，y），

PA

•

PB

=（-1-x，-y）•（1-x，y）=x²+y²-1；由圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使

PA

2，

PO

2，

PB

2成等比數(shù)列可求得x²-y²=

1

2

，從而得x²≥

1

2

．又P在圓內(nèi)，故x²+y²-1＜0，繼而得到答案．

解答：解：設(shè)P（x，y），則A（-1，0），B（1，0），

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，y），
∵

PA

2，

PO

2，

PB

2成等比數(shù)列，
∴(

PO

2)2=

PA

2•

PB

2，
∴（x²+y²）²=[（-1-x）²+y²][（1-x）²+y²]
=（x²+y²+1）²-4x²，
∴x²-y²=

1

2

，
∴y²=x²-

1

2

，x²≥

1

2

．
∴

PA

•

PB

=（-1-x，-y）•（1-x，y）=x²+y²-1=x²+（x²-

1

2

）-1=2x²-

3

2

≥2×

1

2

-

3

2

=-

1

2

①
又P在圓內(nèi)，故x²+y²-1＜0，即

PA

•

PB

＜0②
由①②得：-

1

2

≤

PA

•

PB

＜0．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)等比數(shù)列的性質(zhì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到x²-y²=

1

2

是關(guān)鍵，屬于難題．