Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

1(x=1) 1 |x-1| (x≠1)

，若關(guān)于x的函數(shù)h（x）=f²（x）+bf（x）+

1

2

有5個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，求x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=

1(x=1) 1 |x-1| (x≠1)

的表達(dá)式可對(duì)x分x=1與x≠1討論，由方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0分別求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，從而可求得則x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²的值．

解答： 解：①若x=1，f（x）=1，故1²+b+

1

2

=0，b=-

3

2

；
②若x≠1，f（x）=

1

|1-x|

，方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0可化為：（

1

|1-x|

）²-

3

2

•

1

|1-x|

+

1

2

=0，
即（

1

|1-x|

-1）•（2•

1

|1-x|

-1）=0，
∴

1

|1-x|

=1或

1

|1-x|

=

1

2

，
解

1

|1-x|

=1得：x=0或x=2；解

1

|1-x|

=

1

2

得：x=-1或x=3；
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=1²+0²+2²+（-1）²+3²=15．
∴x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²=15

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，關(guān)鍵是通過對(duì)x分x=1與x≠1討論，由方程f²（x）+bf（x）+

1

2

=0分別求得x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，