【題目】某海警基地碼頭的正西方向海里處有海礁界碑,過點且與角(即北偏東)的直線為此處的一段領(lǐng)海與公海的分界線(如圖所示)。在碼頭的正西方向且距離海里的領(lǐng)海海面處有一艘可疑船停留,基地指揮部決定在測定可疑船的行駛方向后,海警巡邏艇從處即刻出發(fā)。若巡邏艇以可疑船的航速的前去攔截,假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速,將在點處截獲可疑船。

(1)若可疑船的航速為海里小時,,且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間。

(2)若要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船,求的最小值。

【答案】(1)小時;(2)

【解析】

(1) 設(shè),則,利用余弦定理求出a值,進(jìn)而得到巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間;

(2)為坐標(biāo)原點,的方向為軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),可疑船被截獲的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓,利用直線與圓的位置關(guān)系得到結(jié)果.

(1)因為巡邏艇的航速是可疑船的航速的2倍,可疑船的航速為海里/小時,所以巡邏艇的航速為海里/小時,且,設(shè),則,

又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑,所以,

中,有

,故,解得(負(fù)值舍去)

所以小時。

(2)以為坐標(biāo)原點,的方向為軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),

因為巡邏艇的航速是可疑船的航速的倍,所以,

,即

故可疑船被截獲的軌跡是以為圓心,以為半徑的圓,

又直線的方程為,即,

要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船,則:

圓心在直線下方,且的軌跡與直線至多只有一個公共點,

所以

,解得,

故要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船,則。

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分組

頻數(shù)

頻率

2

6

8

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20

1

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