已知直線：．若存在實數(shù)使得一條曲線與直線有兩個不同的交點(diǎn)，且以這兩個交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于，則稱此曲線為直線的“絕對曲線”．下面給出四條曲線方程：①；②；③；④；則其中直線的“絕對曲線”有          （        ）

A．①④    B．②③    C．②④    D．②③④

 

【答案】

D

【解析】

試題分析：由題意直線表示斜率為且過定點(diǎn)（1,1）的直線.(1)曲線①是由左右兩支射線構(gòu)成：時，是斜率為2且過點(diǎn)（1,0）的射線；時，是斜率為-2且過點(diǎn)（1,0）的射線.作圖可知：當(dāng)，直線僅與曲線①右支射線有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與曲線①無交點(diǎn)；當(dāng)時，直線僅與曲線①左支射線有一個交點(diǎn).所以直線與曲線①最多只有一個交點(diǎn)，不符題意，故曲線①不是直線的“絕對曲線”.(2)因為定點(diǎn)（1，1）在曲線②上，所以直線與曲線②恒有交點(diǎn)，設(shè)曲線②與直線的兩交點(diǎn)為、，易知 ，聯(lián)立直線與曲線②方程，化簡得：.

，.,從而可知當(dāng)且僅當(dāng)時直線與曲線②僅一個交點(diǎn).兩邊平方，化簡得：.設(shè)，則，，且是連續(xù)函數(shù)，所以在（0,2）上有零點(diǎn)，即方程在（0,2）上有根，且在（0,2）上曲線②與直線有兩個不同的交點(diǎn).故存在實數(shù)使得曲線②與直線兩個不同交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于，故曲線②是直線的“絕對曲線”.(3)曲線③表示圓心在（1,1）且半徑為1的圓,它與直線兩個交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恒為2，為2或-2時滿足題意，故曲線③是直線的“絕對曲線”.(4)因為定點(diǎn)（1，1）在曲線④上，所以直線與曲線④恒有交點(diǎn)，設(shè)曲線④與直線的兩交點(diǎn)為、，易知 ，聯(lián)立直線與曲線④方程，化簡得：,

,,從而可知當(dāng)且僅當(dāng)時直線與曲線④僅一個交點(diǎn).兩邊平方，化簡得：.,，,且是連續(xù)函數(shù)，所以在上有零點(diǎn)，即方程在上有根，且在上曲線④與直線有兩個不同的交點(diǎn).故存在實數(shù)使得曲線④與直線兩個交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于，故曲線④是直線的“絕對曲線”.

考點(diǎn)：曲線與直線的方程、函數(shù)的零點(diǎn)

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)A、B分別為雙曲線C實軸的左端點(diǎn)和虛軸的上端點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M、N是雙曲線C的右支上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)．已知在雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得
PA
+
PB
+
PF2
=(
3
-3)
OP
．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)a為正常數(shù)，若點(diǎn)Q在直線y=2x上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求F（x）=h（x）-φ（x）的極值；
（2）函數(shù)h（x）和φ（x）是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實常數(shù)k和b，使函數(shù)f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數(shù)x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx，則可推知h（x），φ（x）的“隔離直線”方程為
y=2
e
x-e
y=2
e
x-e
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y=kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”．已知函數(shù)h（x）=x2，m（x）=2elnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)），φ（x）=x-2，d（x）=-1．
有下列命題：
①f（x）=h（x）-m（x）在x∈(0，
e
)遞減；
②h（x）和d（x）存在唯一的“隔離直線”；
③h（x）和φ（x）存在“隔離直線”y=kx+b，且b的最大值為-
1
4
；
④函數(shù)h（x）和m（x）存在唯一的隔離直線y=2
e
x-e．
其中真命題的個數(shù)（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆遼寧省高二下學(xué)期階段性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 （解析版） 題型：解答題

若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數(shù)的底數(shù))．

（1）求的極值；

（2）函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

 

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