Question

函數(shù)y=sinx+

3

cosx+2cos²x+

3

sin2x的值域為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先利用兩角和與差的公式進行化簡，然后通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域．

解答： 解：y=sinx+

3

cosx+2cos²x+

3

sin2x
=2sin（x+

π

3

）+1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（x+

π

3

）-2cos（2x+

2π

3

）+1
=2sin（x+

π

3

）-2（1-2sin²（x+

π

3

）+1
=4sin²（x+

π

3

）+2sin（x+

π

3

）-1
令t=sin（x+

π

3

），
∵sin（x+

π

3

）∈[-1，1]
∴t∈[-1，1]
∴y=4t²+2t-1，t∈[-1，1]
當t=-

1

4

時，ymin=-

5

4

；
當t=1時，y_max=5．
所以函數(shù)的值域為[-

5

4

，5]．
故答案為：[-

5

4

，5]．

點評：本題考查了三角變換及三角函數(shù)的值域，解題的關鍵是選擇恰當?shù)墓�式對表達式進行變形；考查轉(zhuǎn)化思想，把較復雜的函數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化成簡單的二次函數(shù)，要注意函數(shù)的定義域．