Question

17．已知函數(shù)f（x）=$1-\frac{2}{{{3^x}+1}}$
（Ⅰ）用定義證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定義證明即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域．

解答 （Ⅰ）證明：f（x）=$1-\frac{2}{{{3^x}+1}}$
設(shè)x₁，x₂是R上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}$-（1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{{2（{3^{x_2}}-{3^{x_1}}）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}$．
∵x₁＜x₂，
∴${3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}$＞0，
又∵${3^{x_1}}+1＞0$，${3}^{{x}_{2}}+1$＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在x∈[-1，2]時單調(diào)遞增
∴函數(shù)的最大值為f（2）=$\frac{4}{5}$，函數(shù)的最小值為f（-1）=-$\frac{1}{2}$
∴函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{5}$]

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義證明和函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題．