已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）有兩個零點；
（2）若x1，x2∈R，x1＜x2，f（x1）≠f（x2），證明方程數(shù)學(xué)公式在區(qū)間（x1，x2）內(nèi)有一個實根．

證明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c．
∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴△=b2-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根，∴f（x）有兩個零點．
（2）設(shè)，
則，
，
，
∵f（x1）≠f（x2），∴g（x1）•g（x2）＜0，
又函數(shù)g（x）在區(qū)間[x1，x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，由函數(shù)零點的判定定理可得：
g（x）=0在（x1，x2）內(nèi)有一個實根．
分析：（1）利用不等式的基本性質(zhì)和判別式即可判斷方程f（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根即可證明；
（2）構(gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)零點的判定定理即可證明．
點評：本小題主要考查函數(shù)的零點、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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