已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O, 焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形, 兩準(zhǔn)線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0, 2)且與橢圓相交于A.、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積取得最大值時, 求直線的方程.

 

【答案】

（1）

（2）所求直線方程為

【解析】

試題分析：解： (Ⅰ) 設(shè)橢圓方程為     （ 1 分）

由已知得  （  3 分）

∴.   所求橢圓方程為.   （ 4 分）

(Ⅱ)解法一:由題意知直線的斜率存在, 設(shè)直線的方程為, ,           （ 5 分）

由，消去得關(guān)于的方程:

, （ 7 分）

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),

∴

解得.                    （  8 分）

又由韋達(dá)定理得    （  9 分）

∴

原點(diǎn)O到直線的距離為 （ 10 分）

∴ （ 11 分）

對兩邊平方整理得:

∵,

∴

整理得:,

又, ∴.

從而的最大值為, （ 12 分）

此時代入方程(*)得

∴ ,

所以, 所求直線方程為. （13 分）

解法二: 令,

則

∴ , （ 12 分）

當(dāng)且僅當(dāng)即時, ,

此時,

所以, 所求直線方程為. （ 13 分）

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于直線與橢圓的位置關(guān)系的研究，采用聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理來得到，屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為一個正方形的頂點(diǎn)．過右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圓C的圓心與橢圓的右焦點(diǎn)重合，圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長，已知點(diǎn)A（x，y）為圓C上的一點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上點(diǎn)P(3
2
，4)到兩焦點(diǎn)的距離之和是12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為6
3
，且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
2
2
，坐標(biāo)原點(diǎn)O到過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線的距離為
2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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