Question

7．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-（1+a），
①當(dāng)a≤0時(shí)，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
單調(diào)增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）．
③當(dāng)a=1時(shí)，則f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
④當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（1）＜0，
此時(shí)f（x）≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．
當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
此時(shí)，f（1）≥0，解得a≤-$\frac{1}{2}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．