Question

已知雙曲線

x2

2

-y2=1，過(guò)點(diǎn)P（0，1）作斜率k＜0的直線l與雙曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)M在直線l與x≥0，y≥0所圍成的三角形的三條邊上及三角形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求z=-x+y的最小值．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的一般式方程，及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，（1）由過(guò)點(diǎn)P（0，1）作斜率k＜0的直線l與雙曲線

x2

2

-y2=1恰有一個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立直線與雙曲線的方程，則易得到直線的斜率，代入即可得到直線的方程．（2）我們畫(huà)出直線l與x≥0，y≥0所圍成的三角形，求出三角形的各個(gè)頂點(diǎn)，代入即可得到目標(biāo)函數(shù)z=-x+y的最小值．

解答：解：（1）由于直線l過(guò)P（0，1）點(diǎn)，
設(shè)直線l的方程為：y=kx+1（k＜0）
將直線方程代入雙曲線方程

x2

2

-y2=1得：
（

1

2

-k²）x²-2kx-2=0①
由直線l與雙曲線恰有一個(gè)交點(diǎn)，則方程①的△=0
即4k²+8（

1

2

-k²）=0
解得k=-1
∴直線l的方程為：y=-x+1
即：x+y-1=0
（2）直線l與x≥0，y≥0所圍成的三角形如下圖示：

由圖可知：當(dāng)經(jīng)x=1，y=0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=-x+y有最小值-1

點(diǎn)評(píng)：在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類(lèi)討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．