Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，（其中m為整數(shù)），則m叫作離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m，在此基礎上，給出下列關于函數(shù)f（x）=|{x}-x|的命題：
①函數(shù)f（x）的定義域是R，值域是[-

1

2

，

1

2

]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關于y軸對稱；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關于原點對稱；
④函數(shù)y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數(shù)；
其中說法正確的是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①由m-

1

2

＜x≤m+

1

2

得-

1

2

＜x-m≤

1

2

，所以0≤|x-m|≤

1

2

，所以便可得到f（x）的值域為[0，

1

2

]，所以該命題錯誤；
②先根據(jù)條件說明f（-x）=f（x），即f（x）為偶函數(shù)，所以便的得到圖象關于y軸對稱；
③由f（-x）=f（x）便知f（x）的圖象不關于原點對稱；
④由f（-

1

2

）=f（

1

2

）便知函數(shù)f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函數(shù)．

解答： 解：①∵m-

1

2

＜x≤m+

1

2

，∴-

1

2

＜x-m≤

1

2

，∴0≤|x-m|≤

1

2

．即0≤|{x}-x|≤

1

2

；
∴f（x）的值域是：[0，

1

2

]，∴①錯誤；
②當m-

1

2

＜x＜m+

1

2

時，-m-

1

2

＜-x＜-m+

1

2

，∴{-x}=-m；
f（-x）=|{-x}+x|=|-m+x|=|m-x|=|{x}-x|=f（x）；
當x=m+

1

2

時，{-x}={-m-

1

2

}=-m-1，∴f（-x）=|-m-1-（-m-

1

2

）|=

1

2

=|{m+

1

2

}-(m+

1

2

)|=|m-(m+

1

2

)|=f（x）；
∴綜上得f（-x）=f（x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以圖象關于y軸對稱，∴②正確；
③由②知f（-x）=f（x），∴點（-x，f（x）），與（x，f（x））不關于原點對稱；
所以f（x）圖象不關于原點對稱，∴③錯誤；
④f（-

1

2

）=f（

1

2

），即-

1

2

＜

1

2

，而f(-

1

2

)不小于f(

1

2

)，∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上不是增函數(shù)，∴④錯誤；
∴說法正確的是②．
故答案為：②．

點評：考查對新信息的理解與應用能力，函數(shù)的值域，偶函數(shù)的圖象的對稱性，關于原點對稱的點的坐標的關系，增函數(shù)的定義．