Question

（2013•�？诙�模）如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求異面直線BS與AC所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）由等邊三角形三線合一，可得SO⊥BC，由勾股定理可得OA⊥SO，結(jié)合線面垂直的判定定理得到SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）分別取AB、SC、OC的中點N、M、H，連MN、OM、ON、HN、HM，由三角形中位線定理及異面直線夾角的定義，可得OM、ON所成角即為異面直線BS與AC所成角，解三角形MON可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）因為側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，所以SB=SC
又O為BC中點，所以SO⊥BC
連OA，設(shè)AB=2，由∠BAC=90°易求得0A=S0=

2

所以O(shè)A²+SO²=SA²，所以O(shè)A⊥SO
因為OA，BC是平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，所以SO⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）分別取AB、SC、OC的中點N、M、H，連MN、OM、ON、HN、HM，
由三角形中位線定理
ON∥AC，ON=

1

2

AC，OM∥BS，OM=

1

2

BS，HM∥OS，HM=

1

2

OS
所以O(shè)M、ON所成角即為異面直線BS與AC所成角
設(shè)AB=2，易求得                    
IN=IM=1，MN=

3

|cos∠MON|=|

ON2+OM2-MN2

2•ON•OM

|=

1

2

所以異面直線BS與AC所成角的大小為

π

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理，（II）的關(guān)鍵是確定異面直線的夾角．