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已知f(x)=x+
2
x-1
+a,a∈R,
(1)當a=2時,解不等式f(x)≥0;
(2)當x>1時,若f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.
考點:其他不等式的解法,函數恒成立問題
專題:不等式的解法及應用
分析:(1)當a=2時,不等式f(x)≥0可化為:x+
2
x-1
+2≥0;分當x-1>0時,和當x-1<0時,兩種情況解不等式,可得答案;
(2)當x>1時,若f(x)≥0恒成立,則a≥-(x+
2
x-1
)=-(x-1+
2
x-1
+1)恒成立,利用基本不等式求出-(x-1+
2
x-1
+1)的最大值,可得答案.
解答: 解:(1)當a=2時,不等式f(x)≥0可化為:x+
2
x-1
+2≥0;
當x-1>0時,
2
x-1
>0,此時x+
2
x-1
+2≥0恒成立,即f(x)≥0恒成立,
當x-1<0時,
2
x-1
<0,此時x+
2
x-1
+2≥0可化為x2+x≤0,解得:-1≤x≤0,
綜上所述不等式f(x)≥0的解集為:[-1,0]∪(1,+∞),
(2)當x>1時,若f(x)≥0恒成立,
則a≥-(x+
2
x-1
)=-(x-1+
2
x-1
+1)恒成立,
由x-1+
2
x-1
≥2
2
,故x-1+
2
x-1
+1≥2
2
+1,
∴-(x-1+
2
x-1
+1)≤-2
2
-1,
則a≥-2
2
-1,
即實數a的取值范圍為[-2
2
-1,+∞)
點評:本題考查的知識點是分式不等式的解法,基本不等式,恒成立問題,函數的最值,是函數與不等式的綜合應用,難度中檔.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

若直線ax+by+1=0(a>0,b>0)過圓x2+y2+2x+2y=0的圓心,則
1
a
+
1
b
的最小值為(  )
A、2B、4C、8D、16

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)的定義域[-4,4],圖象如圖,則不等式
f(x)
cos2x
<0的解集為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設m∈R,過定點A的動直線l1:x+my=0和過定點B的動直線l2:mx-y-m+3=0=0交于點P(x,y),
(I) 試判斷直線l1與l2的位置關系;  
(Ⅱ) 求|PA|•|PB|的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

滿足tan(x+
π
3
)≥-
3
的x的集合是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象如圖所示,則f(
7
3
)=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設I是函數y=f(x)的定義域,若存在x0∈I,使f(x0)=-x0,則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點x0”,則實數a的取值范圍是( 。
A、(-2,0)∪(0,2)
B、(-2,2)
C、(-1,0)∪(0,1)
D、(-1,1)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知向量
a
,
b
,其中
a
=(-1,
3
),且
a
⊥(
a
-3
b
),則
b
a
上的投影為 ( 。
A、
4
3
B、-
4
3
C、
2
3
D、-
2
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

設{an}是等比數列,m,n,s,t∈N*,則“m+n=s+t”是“am•an=as•at”的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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