Question

5．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡可得函數(shù)解析式為：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，利用周期公式即可得解．
（Ⅱ） 由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可求$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得最值．
（Ⅲ）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈z$得到$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈z$，又x∈[0，π]，即可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 本小題滿分（10分）．
解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1=\sqrt{3}sin2x+cos2x$---------------------（2分）
即$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$-------------------------------------（3分）
所以T=π-------------------------------------（4分）
（Ⅱ） 因?yàn)?x∈[0，\frac{π}{2}]$，所以$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$-------------------------------------（5分）
所以函數(shù)f（x）的最大值為2，-------------------------------------（6分）
最小值為-1-------------------------------------（7分）
（Ⅲ）由于$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈z$---------------------（8分）
得到$\frac{π}{3}+2kπ≤2x≤\frac{4π}{3}+2kπ，k∈z$，即$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈z$---------------（9分）
又因?yàn)閤∈[0，π]，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$---------------------（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．