Question

19．求值：$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$．

Answer 1

分析 設x=$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$．兩邊立方，再利用立方和公式展開化簡即可得出．

解答 解：設x=$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$．
則x³=5+2$\sqrt{13}$+3$\root{3}{（5+2\sqrt{13}）（5-2\sqrt{13}）}$（$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$）+5-2$\sqrt{13}$=10-9x，
化為x³+9x-10=0，變形為x³-1+9（x-1）=0，
∴（x-1）（x²+x+10）=0，
∴x=1．
∴$\root{3}{5+2\sqrt{13}}$+$\root{3}{5-2\sqrt{13}}$=1．

點評 本題考查了根式的運算性質、乘法公式，考查了推理能力、計算能力，屬于中檔題．