Question

已知銳角A是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，a，b，c是三角形中各角的對(duì)應(yīng)邊，若sin²A-cos²A=

1

2

，則b+c與2a的大小關(guān)系為

 

．（填＜或＞或≤或≥或=）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：已知等式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理求出cos2A的值，確定出A的度數(shù)，設(shè)B=60°+x，0≤x＜60°，則有C=60°-x，

1

2

＜cosx≤1，表示出sinB+sinC，求出2sinA的值，即可做出判斷．

解答： 解：∵銳角△ABC中，sin²A-cos²A=-cos2A=

1

2

，即cos2A=-

1

2

，
∴2A=120°，即A=60°，
設(shè)B=60°+x，0≤x＜60°，則有C=60°-x，

1

2

＜cosx≤1，
∵sinB+sinC=sin（60°+x）+sin（60°-x）=2sin60°cosx=

3

cosx，2sinA=2×

3

2

=

3

，
∴sinB+sinC≤2sinA，
由正弦定理化簡(jiǎn)得：b+c≤2a，
故答案為：≤

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及和差化積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．