【題目】設(shè)函數(shù),已知不單調(diào),且其導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).

(1)求的取值范圍;

(2)若集合,,求證:.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題意得有唯一零點(diǎn),且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反. ,

.對(duì)a分類(lèi)討論,分析函數(shù)的單調(diào)性從而得到的取值范圍;

(2)由(1)知設(shè),.在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,的值域?yàn)?/span>,即.

要使,只需

(1)由題意得有唯一零點(diǎn),且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反.

,.

①當(dāng)時(shí),,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,又時(shí),

在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)相反.

②當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,

,存在唯一零點(diǎn),但在零點(diǎn)兩側(cè)都為負(fù)不合題意;

,恒成立此時(shí)無(wú)零點(diǎn),不合題意;

時(shí),時(shí),此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意.

綜上所述,的取值范圍是.

(2)由(1)知,設(shè),.

在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

的值域?yàn)?/span>,即.

要使,只需,即

也就是.

,故,即.

在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù),

要證 只要證,即.

,故結(jié)論得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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