Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x．
（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)；
（2）若f（x）=5•2^-x+3，求x的值．

Answer 1

分析：（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義，當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，判斷f（x₁）-f（x₂）是否大于0，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）令t=2^x，根據(jù)f（x）=5•2^-x+3，可得到二次方程t²-3t-4=0，解出t的值，進(jìn)而可求出x的值．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，
f(x1) -f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2，（2分）
因x₁＜x₂，則2x1＜2x2，（3分）
可知f(x1) -f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2＜0，（5分）
故證得f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)；  （6分）
（2）令t=2^x，
根據(jù)f（x）=5•2^-x+3，
可得t²-3t-4=0，（8分）
解方程得t=4，t=-1（因t＞0舍去），（10分）
進(jìn)而可得x=2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法及相關(guān)計(jì)算．