Question

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=g（2-x），且當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
（1）求f（x）的表達式．
（2）是否存在正實數(shù)a（a＞6），使函數(shù)f（x）圖象的最高點在直線y=12上？若存在，求出正實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，由條件得到f（x）=f（-x）=g（2+x），再由當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）的解析式，得到f（x）在[0，1]的表達式，再由偶函數(shù)的定義，即可得到f（x）在[-1，0]的表達式；
（2）假設(shè)這樣的a存在，則由于f（x）是偶函數(shù)，不妨設(shè)此時x∈[-1，0]，則有f（x）=4x³-2ax，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再求最小值，即可得到a，進而說明存在．

解答： 解：（1）設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，
由于當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=g（2-x），
且f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的偶函數(shù)，
當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
則f（x）=f（-x）=g（2+x），2+x∈[2，3]，
即有f（x）=2ax-4x³，
當(dāng)x∈[-1，0]時，f（x）=f（-x）=-2ax+4x³，
所以f（x）=

4x3-2ax，-1≤x≤0 -4x3+2ax，0＜x≤1

；
（2）假設(shè)這樣的a存在，則由于f（x）是偶函數(shù)，
不妨設(shè)此時x∈[-1，0]，則有f（x）=4x³-2ax，
f'（x）=12x²-2a=2（6x²-a）
因為6x²≤6＜a，
所以6x²-a＜0，f'（x）＜0，f（x）在[-1，0]遞減，
所以f（x）最大值為f（-1）=-4+2a=12，a=8．
所以存在a=8滿足f（x）_max=12．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)解析式的求法，同時考查運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及求最值，考查運算能力，屬于中檔題．