已知直線l被直線l1:2x+y+1=0與l2:x-2y-3=0截得的線段中點(diǎn)恰好為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求直線l的方程;
(2)若拋物線y=ax2-1(a≠0)上總不存在關(guān)于l對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)設(shè)l1與l的交點(diǎn)P(a,-2a-1),l2與l的交點(diǎn)Q(2b+3,b),兩者聯(lián)立,可得Q的坐標(biāo),又由其過原點(diǎn),結(jié)合兩點(diǎn)式可得l的方程.
(2)假設(shè)存在,先求存在時(shí)的a的值,求法為:設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)關(guān)于直線l:x+y=0對稱,設(shè)lMN:y=x+t線段MN的中點(diǎn)為A(x,y),聯(lián)立直線題意拋物線的方程,可得A的坐標(biāo),分析可得,當(dāng)時(shí),拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:x+y=0對稱,反之可得答案.
解答:解:(1)設(shè)l1與l的交點(diǎn)P(a,-2a-1),l2與l的交點(diǎn)Q(2b+3,b)

∴b=-1,則Q(1,-1),
故l的方程為:x+y=0(6分)
(2)設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)關(guān)于直線l:x+y=0對稱
設(shè)lMN:y=x+t線段MN的中點(diǎn)位A(x,y
得ax2-x-t-1=0(8分)
△=1+4a(t+1)>0①
(10分)
中點(diǎn)在直線x+y=0上∴代入①得:
即當(dāng)時(shí),拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:x+y=0對稱,
故拋物線上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:x+y=0對稱時(shí),(14分)
點(diǎn)評:本題有一定難度,尤其在解(2)時(shí),注意從反面下手,得到結(jié)論后,再回歸題目本意,從而得到答案.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求直線l的方程;
(2)若拋物線y=ax2-1(a≠0)上總不存在關(guān)于l對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知直線l過點(diǎn)P(0,1),且l夾在兩直線l1:x-3y+10=0與l2:2x+y-8=0之間的線段恰好被P點(diǎn)平分,則直線l的方程為
x+4y-4=0
x+4y-4=0

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判斷正誤:

已知直線l 被直線l1:3x+4y-8=0和l2:3x+4y-2=0所截得的線段長為

2, 則:

1.直線l 的斜率是或-7,

(  )

2.傾斜角是arctan, π-arctan7

(    )

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已知直線l被直線l1:2x+y+1=0與l2:x-2y-3=0截得的線段中點(diǎn)恰好為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求直線l的方程;
(2)若拋物線y=ax2-1(a≠0)上總不存在關(guān)于l對稱的兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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