【題目】已知向量 =(ex , lnx+k), =(1,f(x)), (k為常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(xiàn)(x)=xexf′(x).
(1)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)g(x)=﹣x2+2ax(a為正實數(shù)),若對任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:由已知可得:f(x)= ,

,

由已知,

∴k=1

∴F(x)=xexf'(x)= ,

所以F'(x)=﹣lnx﹣2

,

∴F(x)的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為


(2)解:∵對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),

∴g(x)max<F(x)max…(6分)

由(I)知,當 時,F(xiàn)(x)取得最大值

對于g(x)=﹣x2+2ax,其對稱軸為x=a

當0<a≤1時, ,

,從而0<a≤1

當a>1時,g(x)max=g(1)=2a﹣1,

,從而

綜上可知:


【解析】(1)利用向量平行的條件求出函數(shù)y=f(x),再求出此函數(shù)的導函數(shù),函數(shù)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,說明f′(1)=0,則k值可求;從而得出F(x)的解析式,求出函數(shù)F(x)的定義域,然后讓導函數(shù)等于0求出極值點,借助于導函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),等價于g(x)max<F(x)max , 再求得F(x)取得最大值;利用二次函數(shù)的圖象,對a進行分類討論,得出g(x)在[0,1]上的最大值,由g(x)在[0,1]上的最大值小于F(x)max得a的范圍,結合分類時a的范圍得a的取值范圍.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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