Question

【題目】設(shè)x，y∈R，定義xy=x（a﹣y）（a∈R，且a為常數(shù)），若f（x）=ex ， g（x）=e﹣x+2x2 ， F（x）=f（x）g（x）．
①g（x）不存在極值；
②若f（x）的反函數(shù)為h（x），且函數(shù)y=kx與函數(shù)y=|h（x）|有兩個交點(diǎn)，則k= ；
③若F（x）在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]；
④若a=﹣3，在F（x）的曲線上存在兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直．
其中真命題的序號有 ． （把所有真命題序號寫上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：∵xy=x（a﹣y），f（x）=ex，g（x）=e﹣x+2x2，

∴F（x）=f（x）g（x）=ex（a﹣e﹣x﹣2x2），

則F′（x）=﹣ex（2x2+4x﹣a），

當(dāng)2x2+4x﹣a=0的△＞0時，g（x）即有極大值，又有極小值，故①錯誤；

∵f（x）的反函數(shù)為h（x），

∴h（x）=lnx，若函數(shù)y=kx與函數(shù)y=|h（x）|有兩個交點(diǎn)，

則y=kx與函數(shù)y=lnx，（x＞1）相切，

此時切點(diǎn)為（e，1），切線斜率為 ；

故②正確；

若F（x）在減函數(shù)，則F′（x）≤0對于x∈R恒成立，

即﹣ex（2x2+4x﹣a）≤0恒成立，

∵﹣ex＜0，

∴2x2+4x﹣a≥0恒成立，

∴△=16﹣8（﹣a）≤0，

∴a≤﹣2；

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]，故③正確；

④當(dāng)a=﹣3時，F(xiàn)（x）=﹣3ex﹣1﹣2x2ex，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）是F（x）曲線上的任意兩點(diǎn)，

∵F′（x）=﹣ex（2x2+4x+3）

=﹣ex[2（x+1）2+1]＜0，

∴F′（x1）F′（x2）＞0，

∴F′（x1）F′（x2）=﹣1 不成立．

∴F（x）的曲線上不存的兩點(diǎn)，使得過這兩點(diǎn)的切線點(diǎn)互相垂直．

故④錯誤；

故真命題的序號為：②③，

所以答案是：②③

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系才能正確解答此題．